3.3. Cambios de unidades compuestas (Factores dobles para velocidad y densidad).

3.3. Cambios de unidades compuestas: Velocidad y densidad

Tema 3: La medida en la ciencia | Física y Química 2º ESO

1 ¿Por qué necesitamos dos factores de conversión a la vez?

Hasta ahora hemos cambiado magnitudes simples (como pasar de $\text{km}$ a $\text{m}$). Pero hay magnitudes compuestas, como la velocidad ($\text{km/h}$) o la densidad ($\text{g/cm}^3$), que combinan dos medidas distintas en una sola fracción:

• Velocidad ($\text{km/h}$): Mide una distancia ($\text{km}$) dividida entre un tiempo ($\text{h}$).
• Densidad ($\text{g/cm}^3$): Mide una masa ($\text{g}$) dividida entre un volumen ($\text{cm}^3$).

Para transformar las dos unidades al mismo tiempo sin liarnos, utilizaremos dos factores de conversión encadenados (un factor doble).

🎯 El truco de la "cancelación en diagonal":
Imagina que las unidades son fichas. Si una unidad está arriba (numerador), para eliminarla debes poner la misma unidad abajo (denominador) en la fracción del factor. Al multiplicar, ¡las unidades repetidas en diagonal se tachan y desaparecen!

2 Transformando la velocidad: De $\text{km/h}$ a $\text{m/s}$

Queremos transformar la velocidad de un coche de $90\text{ km/h}$ a la unidad del Sistema Internacional ($\text{m/s}$).

Guía paso a paso en 3 movimientos:

1. Escribe el dato inicial en forma de fracción:
   $$90\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}}$$
2. Añade los dos factores (dos fracciones vacías):
   • Para eliminar $\text{km}$ (que está arriba), ponemos $\text{km}$ abajo y $\text{m}$ arriba: $\left(\frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}}\right)$.
   • Para eliminar $\text{h}$ (que está abajo), ponemos $\text{h}$ arriba y $\text{s}$ abajo: $\left(\frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}}\right)$.
3. Multiplica todo y simplifica: $$90\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}} \cdot \frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}} = \frac{90 \cdot 1000 \cdot 1}{1 \cdot 3600}\text{ m/s} = \frac{90\,000}{3600}\text{ m/s} = \mathbf{25\text{ m/s}}$$

💡 Comprobación visual

Fíjate bien: Los $\text{km}$ de arriba se cancelan con los de abajo. Las horas ($\text{h}$) de abajo se cancelan con las de arriba. Las únicas unidades que "sobreviven" son los metros ($\text{m}$) arriba y los segundos ($\text{s}$) abajo. ¡Perfecto!

3 Transformando la densidad: De $\text{g/cm}^3$ a $\text{kg/m}^3$

Un taco de madera tiene una densidad de $2,7\text{ g/cm}^3$. Vamos a convertirlo a la unidad oficial del SI ($\text{kg/m}^3$).

Planteamiento con factor doble:

1. Cambiamos la masa: $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$ (ponemos $\text{g}$ abajo para que se cancele con el de arriba).

2. Cambiamos el volumen: $1\text{ m}^3 = 1\,000\,000\text{ cm}^3$ (ponemos $\text{cm}^3$ arriba para que se cancele con el de abajo).

$$2,7\text{ }\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot \frac{1\text{ kg}}{1000\text{ g}} \cdot \frac{1\,000\,000\text{ cm}^3}{1\text{ m}^3}$$

Operación matemática final:

$$\text{Resultado: } \frac{2,7 \cdot 1 \cdot 1\,000\,000}{1000 \cdot 1}\text{ kg/m}^3 = \frac{2\,700\,000}{1000}\text{ kg/m}^3 = \mathbf{2700\text{ kg/m}^3}$$

⚡ El "Atajo de control" para la densidad:
Si te fijas en la operación final ($2,7 \cdot 1000 = 2700$), pasar de $\text{g/cm}^3$ a $\text{kg/m}^3$ equivale siempre a **multiplicar por 1000**. Si vas en sentido contrario (de $\text{kg/m}^3$ a $\text{g/cm}^3$), **divides entre 1000**.

✏️ Actividades de consolidación (Apartado 3.3)

1. Velocidades en la carretera: Expresa las siguientes velocidades en metros por segundo ($\text{m/s}$) utilizando factores de conversión dobles (deja constancia de todo el procedimiento):
   • a) Un leopardo corriendo a $108\text{ km/h}$.
   • b) Un patinete eléctrico circulando a $18\text{ km/h}$.
2. Cambios de dirección ($\text{m/s} \rightarrow \text{km/h}$): Un atleta profesional corre los 100 metros lisos a una velocidad media de $10\text{ m/s}$. Transforma su velocidad a kilómetros por hora ($\text{km/h}$).
3. Densidad de materiales: El aceite vegetal tiene una densidad de $0,92\text{ g/cm}^3$. Utiliza el método del factor doble para expresar su densidad en $\text{kg/m}^3$.
4. El reto del laboratorio: La densidad del agua marina es de $1030\text{ kg/m}^3$. ¿A cuántos $\text{g/cm}^3$ equivale? (Plantea los factores de conversión correspondientes).

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1. Velocidades en $\text{m/s}$:
   • a) $108\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}} \cdot \frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}} = \frac{108\,000}{3600} = \mathbf{30\text{ m/s}}$
   • b) $18\text{ }\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{1000\text{ m}}{1\text{ km}} \cdot \frac{1\text{ h}}{3600\text{ s}} = \frac{18\,000}{3600} = \mathbf{5\text{ m/s}}$
2. De $\text{m/s}$ a $\text{km/h}$:
   $$10\text{ }\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \frac{1\text{ km}}{1000\text{ m}} \cdot \frac{3600\text{ s}}{1\text{ h}} = \frac{10 \cdot 3600}{1000} = \frac{36\,000}{1000} = \mathbf{36\text{ km/h}}$$
3. Densidad del aceite:
   $$0,92\text{ }\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \cdot \frac{1\text{ kg}}{1000\text{ g}} \cdot \frac{1\,000\,000\text{ cm}^3}{1\text{ m}^3} = \frac{0,92 \cdot 1\,000\,000}{1000} = \mathbf{920\text{ kg/m}^3}$$
4. Reto del agua marina:
   $$1030\text{ }\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot \frac{1000\text{ g}}{1\text{ kg}} \cdot \frac{1\text{ m}^3}{1\,000\,000\text{ cm}^3} = \frac{1030 \cdot 1000}{1\,000\,000} = \mathbf{1,03\text{ g/cm}^3}$$